針對(duì)數(shù)字的批判性思考，最重要的一點(diǎn)就是允許自己在遇到數(shù)學(xué)問題時(shí)使用錯(cuò)誤的答案，是故意有誤的答案。

工程師和科學(xué)家們經(jīng)常會(huì)這樣做，沒理由我們不可以，他們的秘訣歸結(jié)起來就是一點(diǎn)：估測(cè)的藝術(shù)，或者叫做“餐巾紙背面”(back of the napkin)的計(jì)算。正如英國(guó)作家薩基(Saki）所說，“一點(diǎn)點(diǎn)誤差能夠避免一大堆麻煩的解釋”。

過去十年當(dāng)中，谷歌在面試的時(shí)候，會(huì)問應(yīng)聘者那些沒有答案的問題。谷歌是一家依靠創(chuàng)新得以生存和發(fā)展的公司——發(fā)明之前沒有的東西，改進(jìn)現(xiàn)有的方法和技術(shù)，讓消費(fèi)者去做之前做不到的事情。

將這一點(diǎn)和其他大部分公司的面試方式進(jìn)行比較：在面試中考驗(yàn)技能的部分，谷歌需要知道你是否能夠做到他們需要你做的事情。

但是谷歌不知道他們的新雇員需要有什么具體的技能。他們需要知道的是：一名員工是否能夠用自己的思考解決一個(gè)問題。

鋼琴調(diào)音師和摩天大樓

來考慮一下這個(gè)曾經(jīng)在谷歌面試中被提及的問題：帝國(guó)大廈有多重？

在任何一個(gè)實(shí)際的場(chǎng)景下，這個(gè)問題都是沒有正確答案的，因?yàn)闆]人知道答案。谷歌對(duì)答案也不感興趣；他們感興趣的是思考的過程。谷歌希望看到一個(gè)合邏輯且理性的解決路徑，這樣就能了解應(yīng)聘者是如何思考的，對(duì)方是否是一個(gè)縝密的思考者。

對(duì)于這個(gè)問題，通常有四種反應(yīng)。人們擺擺手說“這是不可能(被回答)的”，或者他們會(huì)嘗試在哪里尋找答案。

第三種反應(yīng)是要求提供更多的信息，就“帝國(guó)大廈的重量”這個(gè)問題來說，會(huì)問你是指包括家具還是不包括家具？是否要把樓里的人計(jì)算在內(nèi)？但是這些問題無關(guān)痛癢，并不會(huì)讓你距離解決問題更近；它們只會(huì)讓你推延開始解決問題的過程。

第四種反應(yīng)才是正確的：使用估算，一些人稱之為猜算(guesstimating)。這些類型的問題通常被稱作估算問題或是費(fèi)米問題(Fermi problems)，以物理學(xué)家恩里科•費(fèi)米(Enrico Fermi)的名字命名，費(fèi)米曾以在沒有確切數(shù)據(jù)的情況下做出估算而聞名。估算涉及一系列系統(tǒng)化的合理猜測(cè)能力，將問題分成可處理的不同部分，定義假設(shè)條件，再使用客觀世界的常識(shí)填補(bǔ)空缺的信息，以此來解決問題。

那么你要如何來解決“芝加哥有多少鋼琴調(diào)音師”這個(gè)費(fèi)米問題呢？

從哪里開始下手？和許多費(fèi)米問題一樣，對(duì)于計(jì)算中使用的數(shù)據(jù)量進(jìn)行估計(jì)通常是很有幫助的，這里說的不是問題最終要你估算的量，而是能夠幫助你計(jì)算出最終結(jié)果的量。在這個(gè)問題里面，我們先從芝加哥有多少臺(tái)鋼琴開始可能會(huì)更容易，之后再弄清楚需要多少調(diào)音師才能讓這些鋼琴保持音準(zhǔn)。

我們先列出需要知道的數(shù)據(jù)，之后是一些假設(shè)：

一、鋼琴需要多久進(jìn)行一次調(diào)音

二、為一臺(tái)鋼琴進(jìn)行調(diào)音需要多長(zhǎng)時(shí)間

三、一位鋼琴調(diào)音師一年平均工作多少小時(shí)

四、芝加哥有多少架鋼琴

搞清楚這些問題有助于我們得到答案。如果你知道第一點(diǎn)、第二點(diǎn)和第三點(diǎn)，只要和第四點(diǎn)相乘就能夠弄清楚每年芝加哥所有的鋼琴需要多少時(shí)間進(jìn)行調(diào)音。用這個(gè)數(shù)字除以每位調(diào)音師每年工作的時(shí)間，就得到了調(diào)音師的數(shù)量。

假設(shè)一：每架鋼琴平均每年進(jìn)行調(diào)音的次數(shù)。

這個(gè)數(shù)據(jù)是從哪里來的？我編的！不過這就是你在估算時(shí)候需要做的。而且必須要在一個(gè)合理的量級(jí)：一臺(tái)鋼琴不會(huì)每十年才調(diào)一次音，也不會(huì)一年調(diào)十次音。一年一次看起來是一個(gè)合理的猜測(cè)。

假設(shè)二：為一臺(tái)鋼琴調(diào)音需要兩個(gè)小時(shí)。這是猜的，或許是一小時(shí)，但是兩小時(shí)在合理的量級(jí)范圍之內(nèi)，所以這個(gè)數(shù)字沒問題。

假設(shè)三：一位鋼琴調(diào)音師每年平均工作多少小時(shí)？我們假設(shè)一周工作 40 小時(shí)，調(diào)音師每年有兩個(gè)星期去度假：40 小時(shí)/周 x 50 周 ＝ 2000 小時(shí) / 年。鋼琴調(diào)音師的工作需要花時(shí)間在路上——沒有人會(huì)把鋼琴搬來搬去——所以調(diào)音師會(huì)有 10％ 到 20％ 的時(shí)間用在交通上面。我們會(huì)在最后的結(jié)果中把這部分剪掉。

假設(shè)四：估算芝加哥所有鋼琴的數(shù)量，你可能會(huì)猜測(cè)每 100 人就有一臺(tái)鋼琴——再說一遍，這只是一個(gè)猜測(cè)，但很可能是在合理的范圍內(nèi)。除此之外，還有學(xué)校和其他組織機(jī)構(gòu)購(gòu)買了鋼琴，其中許多都有多架鋼琴。這樣估計(jì)起來就有點(diǎn)難度了，但是把這個(gè)因素考慮在內(nèi)，平攤在人均擁有的鋼琴數(shù)量上面，則大概是每 100 人有兩臺(tái)鋼琴。

現(xiàn)在來估算芝加哥的總?cè)藬?shù)。如果你不知道的話，可能會(huì)想到這是美國(guó)第三大城市，僅次于紐約(800 萬人)和洛杉磯(400 萬人)。你可能會(huì)猜算芝加哥有 250 萬人口，也就是說有 25000 人有鋼琴。我們將這個(gè)數(shù)字翻倍，為的是將機(jī)構(gòu)組織的鋼琴數(shù)量計(jì)算在內(nèi)，這樣結(jié)果就是 50000 臺(tái)鋼琴。

于是，我們的估計(jì)如下：

一、芝加哥有 250 萬人口

二、每 100 人有兩臺(tái)鋼琴

三、芝加哥有 50000 臺(tái)鋼琴

四、鋼琴每年調(diào)音一次

五、一臺(tái)鋼琴調(diào)音需要兩個(gè)小時(shí)

六、鋼琴調(diào)音師每年工作 2000 小時(shí)。

七、在一年當(dāng)中，每個(gè)鋼琴調(diào)音師能夠?yàn)?1000 臺(tái)鋼琴調(diào)音(2000 小時(shí)/年 除以 2 小時(shí)/臺(tái)鋼琴)。

八、50000 臺(tái)鋼琴需要 50 個(gè)調(diào)音師(50000 臺(tái)鋼琴 除以 1000 鋼琴/調(diào)音師)。

九、外加 15％ 的時(shí)間，為的是將交通時(shí)間計(jì)算在內(nèi)，也就是芝加哥大約有 58 位鋼琴調(diào)音師。

正確的結(jié)果是怎樣的？芝加哥的電話黃頁(yè)上一共有 83 個(gè)鋼琴調(diào)音師。這其中包括重復(fù)登記的(同一位調(diào)音師有多部電話會(huì)被再登記一次)，還包括鋼琴技師(不做調(diào)音工作)。去掉 25 個(gè)不是調(diào)音師的情況，我們的估算答案 58 還是非常接近的。

作者：兼職企鵝